提　要：本文用WPA法导出了带集中质量多支承梁的动特性分析计算方法。文中用该方法具体分析了集中质量对某四支承桅杆动态响应的影响。结果表明WPA法分析头部有重物的任意多支承弹性桅杆较之模态综合法和假设振型函数法等具有独特的优点。

关键词：振动,集中质量,升降桅杆,wPA

一、前言

带集中质量的多支承弹性梁是由弹性体和离散质量构成的混合动力学系统。

R.G.Ja cq u ot 闭用模态截断和模态综合法导出了悬臂梁中点装有动力吸振器的解析式。以后J.C.Sn o w d o n ([ 4 ], 1 9 6 5 年) 将这一结果推广到悬臂梁中点和自由端分别装有动力吸振器的情况。但是如果动力吸振器不在这些特殊的位置或者边界条件稍有变化, 其理论求解是很难实现的, 这些分析中还必须假设梁和动力吸振器的阻尼为零。这些假设使得分析结果与工程实际相去甚远。有集中质量时, 其数学处理方式与动力吸振器的过程是一样的。因之采用经典解析方法也同样困难。

P A 法是W a v e Pr o p a g a t io n A n a lys is 的缩略语。它是精确计算方法, 具有精度高, 速度快, 可以计及阻尼参数, 对各种约束条件均较放松等特点,见文献[ 5 ~ 6〕。 本文用W P A 法导出了带集中质量多支承梁结构动特性的分析计算方法, 该方法不仅可以考虑梁的阻尼,而且对集中质量的位置和支承形式均无任何限制。作者最后以某型船桅杆加集中质量为例, 给出了W PA 法的分析计算结果。

二、基本方法

对于任意多支承悬臂梁头部附有集中质量的复杂混合动力系统, 其简化的力学模型如图1 。假设位移响应的时间相关量具有形式ex P( 一io t) 并在下面的表达中省略。

没有集中质量时, 作者在文献「1 ] 中导出了任意点x 一x 。受外干扰力P 一Po ex p (一io t) 梁运动的谐位移, 这里复写如下并记为w , (x) :

如果在上面的式子中将抗弯刚度用复刚度E l‘ 一E l (1 + i · 功表示, 则可计及梁中阻尼对响应的影响。式(1) 中的第一项是由反射波在梁的两个末端产生的位移, 4 个A , 是未知数; 第二项是外激励力产生的位移项; 第三项是由支承反力R , 产生的位移,N 个支反力R , 的大小也是待定未知数。

再考虑头部有集中质量对系统动响应的影响。集中质量解除约束, 视同对梁施加了一个作

用反力F , (未知内力) 。在结构线性假设条件下, 应用任意多支承梁中弯曲波的叠加原理, 可以推得有集中质量时梁的横向位移表达式:

当集中质量随梁作谐运动时, 施加到梁上的外力F , 是梁谐位移的函数:

式(5) 代入式(4 ) , 得到下面的重要关系式:

（6）

式(6) 等式右边中的最后一项是由集中质量引入的动反力项, 而w (x , )则是梁上点x 一x , 的动位移(未知数) 。为了下面计算的方便, 列出式(6 )对x 的偏导数:

式中(jm )为符号算子:

以上推导中未对集中质量的座标x, 有任何限制, 这意味着集中质量可位于梁上任意一点。已知式( 1) 中共有N + 4 个未知数川, 式( 7)中则总共有N + 5 个未知数, 它们可以分别由边界条件、约束条件和连续条件确定。当N 个支承均为简支时, 这三个条件等价于下式:

式( 1 0 ) 对应一个(N + 5) 个未知数的线性方程组:

式(1 1 )的即时数值解{X }代入式(6 ) , 即可求得梁上任意一点的位移导纳(即单位动载荷下的位移响应) 。矩阵[ S ] 和{Q }的元素见附录。

三、计算举例

带集中质量四支承桅杆的计算参数见表1：

表1 中的输入参数经编程计算得到图2 。图中虚线表示四支承桅杆未加集中质量时桅杆末端的位移导纳, 实线是加装集中质量( m 。-50 K g ) 后的位移导纳。在x , 一L 安装了集中质量后, 首阶固有频率的峰值位移得到了有效的抑制: 末端的位移幅值从原来没有安装集中质量的10 D 个位移单位降至有集中质量时的1.01 2 个位移单位, 仅相当于原来位移的1.0 1 2 %。

表2 是当集中质量在位置座标x 一5.97 1~ 9.4 7 7 m 范围内变化时, 桅杆末端最大位移响应的比值, 其中w和w 。分别表示有和没有集中质量时末端的位移响应, 它们是频率f 的函数。从表2 可见, 集中质量的位置对桅杆的动响应有显著的影响。

为了考察集中质量m。与桅杆动特性的关系, 在其它条件不变的情况下, 假设集中质量在m‘ 一。一10 oK g 范围内变化时, 得到频率f , 集中质量m。和位移导纳w 的三维网线图(图3) ,从该图可见, 改变集中质量的数值对桅杆的动响应也有显著影响。

四、结论

WPA 法经拓展可分析头部有重物的任意多支承桅杆类混合动力系统, 既适用于任意支承和边界, 又能计及梁的阻尼和梁上任意点的集中质量, 这比模态综合法和假设振型函数法等在数学处理上有较大的改善, 更简便;只要边界约束和附加物等解除约束后可以等效为梁上连接点的一个动反力和/ 或动反力矩, 就可以用W PA 法进行表述、求解, 这是W P A 法的独特优点;计算结果表明, 集中质量对多支承潜望镜的动态特性有显著的影响, 在x 。一L 时梁的首阶固有频率对应的位移导纳降低了90 % 以上,工程设计时必需高度重视。